Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四個根組成一個首項為

1

2

的等比數列，則|m-n|=

 

．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數的關系和等比數列性質分析，四個根組成的首項為

1

2

的等比數列的首項與末項的積等于第二項與第三項的積等于2，從而確定數列的每一項，再由兩根之和分別為m、n，即可求出結果．

解答：解：∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0?x²-mx+2=0 ①或x²-nx+2=0 ②
設方程①兩根為x₁，x₄，方程②兩根為x₂，x₃，則，x₁x₄=2，x₁+x₄=m  x₂x₃=2，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四個根組成一個首項為

1

2

的等比數列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分別為這個數列的前四項，且x₁=

1

2

，x₄=

2

1 2

=4，公比為2∴x₂=1，x₃=2
∴m=x₁+x₄=

1

2

+4=

9

2

，n=x₂+x₃=1+2=3
故|m-n|=|

9

2

-3|=

3

2

點評：本題綜合考查了一元二次方程根與系數的關系和等比數列的性質，解題時要認真觀察，熟練運用性質