Question

已知向量

m

=（2cosx，2sinx），

n

=（cosx，

3

cosx），設(shè)f（x）=

m

•

n

-1．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(

C

2

)=2，且acosB=bcosA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（I）由于函數(shù)f（x）=

m

•

n

-1=2sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）在△ABC中，由于f(

C

2

)=2，求得sin（C+

π

6

）=1，C=

π

3

．再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得sin（A-B）=0，A-B=0，故 A=B=C=

π

3

，由此可得△ABC的形狀．

解答：解：（I）由于函數(shù)f（x）=

m

•

n

-1=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z．
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由于f(

C

2

)=2=2sin（C+

π

6

），∴sin（C+

π

6

）=1，∴C=

π

3

．
再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得 ainAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0．
再由-π＜A-B＜π，可得 A-B=0，故 A=B=C=

π

3

，
故△ABC為等邊三角形．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式、三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．