Question

我國(guó)農(nóng)業(yè)科學(xué)家在某地區(qū)研究玉米植株生長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)觀測(cè)、分析，列出了該地區(qū)玉米在不同階段的高度數(shù)據(jù)：

生長(zhǎng)階段	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
植株高度（cm）	0.67	0.85	1.28	1.75	2.27	2.75	3.69	4.71	6.36	7.73	9.91
生長(zhǎng)階段	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
植株高度（cm）	12.75	16.55	20.1	27.35	32.55	37.55	44.75	53.38	71.61	83.89	97.46
生長(zhǎng)階段	23	24	25	26	27	28	29	30	31
植株高度（cm）	112.73	135.12	153.6	160.32	167.05	174.9	177.87	180.19	180.79

（1）畫出函數(shù)圖形，近似地寫出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系；

（2）利用得出的關(guān)系式，與表中實(shí)際數(shù)據(jù)比較；

（3）說(shuō)出關(guān)系式給出的一些信息.

Answer 1

解析：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)是描述客觀變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，本題通過(guò)畫出函數(shù)圖形，假設(shè)為指數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖表，可以清楚地看出，第1到第6個(gè)生長(zhǎng)階段與實(shí)際得到的數(shù)據(jù)誤差很小，后面的數(shù)據(jù)誤差較大.

解：（1）畫出函數(shù)圖形（如下圖所示），函數(shù)的圖形近似于“S”形.

（2）以我們現(xiàn)有的知識(shí)很難找出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式來(lái)近似地表達(dá)這個(gè)圖形，但我們仔細(xì)觀察第1個(gè)生長(zhǎng)階段至第25個(gè)生長(zhǎng)階段的函數(shù)圖象后會(huì)發(fā)現(xiàn)，它與我們比較熟悉的指數(shù)函數(shù)的圖象相像.

    下面我們來(lái)考慮給出第1至第25個(gè)生長(zhǎng)階段的一個(gè)指數(shù)函數(shù)關(guān)系式.

    假設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=ae^bx，并且通過(guò)點(diǎn)（2，0.85）和（23，112.73），把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式，解方程組得a=0.534，b=0.233.

    因此，用指數(shù)函數(shù)近似得到的關(guān)系式為

y=f（x）=0.534e^0.233x.

    由得到的關(guān)系式計(jì)算出各個(gè)生長(zhǎng)階段的近似值如下表：

生長(zhǎng)階段x	1	2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13
函數(shù)值f(x)	0.67	0.85		1.07		1.36		1.71		2.16		2.73		3.44		4.34		5.48		6.92		8.74		11.03
生長(zhǎng)階段x	14		15		16		17		18		19		20		21		22		23		24		25
函數(shù)值f(x)	13.93		17.58		22.2		28.02		35.37		44.66		56.37		71.16		89.84		113.41		143.17		180.73

     從表中我們可以清楚地看出，第1到第6個(gè)生長(zhǎng)階段與實(shí)際得到的數(shù)據(jù)誤差很小，后面的數(shù)據(jù)誤差較大.

（3）這個(gè)指數(shù)函數(shù)在玉米生長(zhǎng)的后幾個(gè)階段增長(zhǎng)較快，與實(shí)際數(shù)據(jù)中穩(wěn)定于某一數(shù)值附近不符.