Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐標(biāo)；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，求

a

與

b

的夾角θ；
（3）若

b

=（1，1），且

a

與

a

+λ

b

的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和向量的模的公式，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的夾角公式，計(jì)算即可得到；
（3）運(yùn)用向量的夾角為銳角的等價(jià)條件：數(shù)量積大于0，且不共線，計(jì)算即可得到范圍．

解答： 解：（1）設(shè)

c

=(x，y)，由

c

∥

a

和|

c

|=2

5

可得：

y=2x x2+y2=20

解得，

x=2 y=4

　或 

x=-2 y=-4

，
∴

c

=(2 ， 4)，或

c

=(-2 ，-4)；
（2）由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)得，(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
即，2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0，
2|

a

|2+3

a

•

b

-2|

b

|2=0，即有2×5+3

a

•

b

-2×

5

4

=0，
所以

a

•

b

=-

5

2

；
得cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-1，
由 θ∈[0，π]，得，θ=π；
（3）

a

=(1 ， 2)⇒

a

+λ

b

=(λ+1 ， λ+2)，
由

a

與

a

+λ

b

的夾角為銳角，得

a

•(

a

+λ

b

)＞0，λ+1+2λ+4＞0⇒λ＞-

5

3

，
若

a

∥

a

+λ

b

，得λ=0，
所以，λ∈(-

5

3

 ， 0)∪(0 ， +∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查向量的夾角為銳角的等價(jià)條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．