Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的方程為x-y+8=0，曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)o為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（8，

π

2

），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最值．
（Ⅲ）請(qǐng)問(wèn)是否存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足S_△AOB=

3

4

；若存在請(qǐng)求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得出；
（II）設(shè)Q（

3

cosα，sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)Q到直線l的距離d，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（III）假設(shè)存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足S_△AOB=

3

4

；設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l：x-y+t=0．由曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），化為

x2

3

+y2=1．聯(lián)立方程得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線m的距離，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)P（8，

π

2

）化為直角坐標(biāo)，得P（0，4）．     （2分）
因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（0，4）滿足直線l的方程x-y+4=0，所以點(diǎn)P在直線l上．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

3

cosα，sinα）（5分）
從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d=

| 3 cosα-sinα+4

2

=

2

cos（α+

π

6

）+2

2

  （6分）
由此得，當(dāng)cos（α+

π

6

）=-1時(shí)，d取得最小值，且最小值為

2

當(dāng)cos（α+

π

6

）=11時(shí)，d取得最大值，且最大值為3

2

     （8分）
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l：x-y+t=0．由曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），化為

x2

3

+y2=1．
直線代入，化為4x²+6tx+3t²-3=0．
∵直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=36t²-16（3t²-3）＞0，化為t²＜4（*）．
∴x₁+x₂=-

3t

2

，x₁x₂=

3t2-3

4

．
∴|AB|=

12-3t2 2

，
∵原點(diǎn)O到直線l的距離d=

|t|

2

，
∴

1

2

•

12-3t2 2

•

|t|

2

=

3

4

，
化為t⁴-4t²+3=0，解得t²=1或t²=3．滿足（*）．
∴存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足S_△AOB=

3

4

，
直線l為x-y±1=0，或x-y±

3

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、點(diǎn)到直線的距離公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、相互平行的直線的斜率之間的關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．