Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n；數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b₂=6，且{b_n-a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比q=2的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n-a_n}的公差為d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由bn=2n+2n-1，利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比q=2的等比數(shù)列，
所以an=2n-1；
因?yàn)閎₁-a₁=2，b₂-a₂=4，
所以數(shù)列{b_n-a_n}的公差為d=2．
所以b_n-a_n=（b₁-a₁）+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
所以bn=2n+2n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵bn=2n+2n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2^n-1）
=

(2+2n)n

2

+

1×(1-2n)

1-2

=n（n+1）+2ⁿ-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．