Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，O為坐標原點，點M（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$）在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程．
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由漸近線方程可得關于a、b的一個方程，再把點M（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$）代入雙曲線的方程又得到關于a、b的一個方程，將以上方程聯(lián)立即可解得a、b的值；
（2）利用$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得x₁x₂+y₁y₂=0、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式即可求出．

解答 解：（1）雙曲線C的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，∴b=$\sqrt{3}$a，雙曲線的方程可設為3x²-y²=3a²．
∵點M（$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}$）在雙曲線上，可解得a=2，∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）設直線PQ的方程為y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將直線PQ的方程代入雙曲線C的方程，可化為（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{k}^{2}≠0}\\{△＞0}\end{array}\right.$（*）
x₁+x₂=$\frac{2km}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-{m}^{2}-12}{3-{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得x₁x₂+y₁y₂=0，
把y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m代入上式可得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•$\frac{-{m}^{2}-12}{3-{k}^{2}}$+km•$\frac{2km}{3-{k}^{2}}$+m²=0，
化簡得m²=6k²+6．
|OP|²+|OQ|²=|PQ|²=24+$\frac{384{k}^{2}}{（{k}^{2}-3）^{2}}$
當k=0時，|PQ|²=24+$\frac{384{k}^{2}}{（{k}^{2}-3）^{2}}$≥24成立，且滿足（*）
又∵當直線PQ垂直x軸時，|PQ|²＞24，
∴|OP|²+|OQ|²的最小值是24．

點評 熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程、$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0得x₁x₂+y₁y₂=0、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式是解題的關鍵．