Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+2b-4a，當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時，f（x）＜0；當(dāng)x∈（-2，6）時，f（x）＞0．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)F（x）=-kf（x）+4（k+1）x+2（6k-1），當(dāng)k取何值時，對?x∈[0，2]，函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)數(shù)？

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先利用不等式的結(jié)果，從而確定方程的根，進一步確定二次函數(shù)的關(guān)系式．
（Ⅱ）根據(jù)恒成立問題，從而確定參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知-2和6是方程ax²+4x+2b-4a=0的兩根．
故

-2+6=- a 4 -2×6= 2b-4a a

，
解得 

a=-1 b=4.

（Ⅱ）f（x）=-x²+4x+12，
F（x）=-k（-x²+4x+12）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
由F（x）＜0對?x∈[0，2]恒成立，
即kx²+4x-2＜0對?x∈[0，2]恒成立，
當(dāng)x=0時，kx²+4x-2＜0成立；
當(dāng)x∈（0，2]時，k＜(

-4x+2

x2

)min，
又

-4x+2

x2

=

2

x2

-

4

x

，
設(shè)t=

1

x

，則t∈[

1

2

，+∞)，
∴

2

x2

-

4

x

=2t²-4t=2（t-1）²-2，
當(dāng)t=1時，(

-4x+2

x2

)min=-2，
所以k＜-2．

點評：本題考查的知識要點：二次函數(shù)解析式的確定，恒成立問題的應(yīng)用及相關(guān)的運算問題．