已知函數(shù)f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).

(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),x3是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),且x3≠x1,x3≠x2.證明:存在實(shí)數(shù)x4,使得x1,x2,x3,x4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列,并求x4.


 (1)解:當(dāng)a=1,b=2時(shí),f(x)=(x-1)2(x-2),

f′(x)= (x-1)(3x-5),

故f′(2)=1.

又f(2)=0,

所以f(x)在點(diǎn)(2,0)處的切線方程為y=x-2.

(2)證明:由題意得f′(x)=3(x-a)(x-),

由于a<b且a,b∈R,故a<,

所以f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x=a,x=.

不妨設(shè)x1=a,x2=,

因?yàn)閤3≠x1,x3≠x2,

且x3是f(x)的零點(diǎn),

故x3=b.

又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/09/09/13/2014090913333459467021.files/image003.gif'>-a=2(b-),

x4=(a+)=,

此時(shí)a, ,,b依次成等差數(shù)列,

所以存在實(shí)數(shù)x4滿足題意,且x4=.


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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為(  )

(A)y=x-1或y=-x+1

(B)y=(x-1)或y=-(x-1)

(C)y=(x-1)或y=-(x-1)

(D)y=(x-1)或y=-(x-1)

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若點(diǎn)P(a,b)在直線x+y=2上,且在第一象限內(nèi),則ab+的最小值為(  )

(A)2    (B)3    (C)4    (D)2

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如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個(gè)根.

(1)證明:C,B, D,E四點(diǎn)共圓;

(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

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如圖所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,則圓O的半徑OC的長(zhǎng)為    . 

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設(shè)a、b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是(  )

(A)b-a>0    (B)a3+b3<0

(C)a2-b2<0  (D)b+a>0

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函數(shù)f(x)=sin(2x-)在區(qū)間[0, ]上的最小值為(  )

(A)-1   (B)-    (C) (D)0

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定義運(yùn)算a※b為a※b=如1※2=1,則函數(shù)f(x)=sin x※cos x的值域?yàn)椤   ? 

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 直線與雙曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 

 已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點(diǎn)到漸近線的距離為.

 (1)求雙曲線C的方程;

(2)如圖,P是雙曲線C上一點(diǎn),A、B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.

,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.

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