Question

已知四棱錐底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，

（Ⅰ）證明：PF⊥FD；

（Ⅱ）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；．

（Ⅲ）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）AG＝AP的點(diǎn)G為所求（3）二面角的余弦值為

【解析】(I)此題證明的思路是.然后利用線面垂直的性質(zhì)定理證DF⊥AF, DF⊥PA即可.

(II)先取PA的中點(diǎn)M，PD的中點(diǎn)N,連接BM，F(xiàn)N，MN,易證：四邊形BMNF為平行四邊形，因而取AM的中點(diǎn)就是要找的點(diǎn)G的位置.

（III）易知,所以PA=AB，解此題的關(guān)鍵是找出二面角的平面角，過F作FQ垂直AD，垂足為Q，過Q作QH垂直PD，垂足為H，連接FH，則就是二面角的平面角，然后解三角形即可求出的余弦值.也可利用空間向量法.

解：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF²＋AF²＝AD²，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

                          ……………4分

（Ⅱ）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD且AH＝AD．

再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G為所求．   …8分

（Ⅲ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A⊥平面ABCD ，所以是與平面所成的角．

又有已知得，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，由得，令，解得：．所以．又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921223164144249/SYS201206192124174226129929_DA.files/image022.png">，所以是平面的法向量，

易得，所以．由圖知，所求二面角的余弦值為．