在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（
6
5
，0），P（cosα，sinα）．
（Ⅰ）若cosα=
5
6
，求證：
PA
⊥
PO
；
（Ⅱ）若|
PA
|=|
PO
|，求sin(
π
2
+2α)的值．
分析：（ I）由題意可得向量
PA
，
PO
的坐標(biāo)，由cosa=
5
6
可得
PA
•
PO
=0，可得向量垂直；（ II）把|
PA
|=|
PO
|平方可得cosα的方程，解方程可得cosα，由誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得sin(
π
2
+2α)2cos2α-1，代入數(shù)值化簡(jiǎn)可得．
解答：解：（ I）由題意可得
PA
=(
6
5
-cosα，-sinα)，
PO
=(-cosα，-sinα)，
∴
PA
•
PO
=（
6
5
-cosα）（-cosα）+（-sinα）2=-
6
5
cosα+cos2α+sin2α=-
6
5
cosα+1，
∵cosa=
5
6
，∴
PA
•
PO
=0，
∴
PA
⊥
PO

（ II）∵|
PA
|=|
PO
|，
∴|
PA
|2=|
PO
|2，
代入數(shù)據(jù)可得(cosα-
6
5
)2+sin2α=cos2α+sin2α，解得cosa=
3
5
，
由誘導(dǎo)公式可得sin(
π
2
+2α)=cos2α=2cos2α-1=-
7
25
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案