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如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1.

(1)證明PA⊥平面ABCD;

(2)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大�。�

(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

思路解析:本小題主要考查了棱錐、直線與平面垂直的判定與性質(zhì),二面角及二面角的平面角、直線與平面平行的判定和性質(zhì),同時考查了利用空間向量解決立體幾何問題的轉(zhuǎn)換能力、一定的計算能力以及邏輯推理能力.

    第(3)問在設(shè)問上有一定的開放性,這對空間觀念的要求,對空間圖形轉(zhuǎn)換要求,在水平層次上就有較大的提高,切入點(diǎn)是從特殊點(diǎn)開始進(jìn)行探究.

    此題可用空間向量法解決,關(guān)鍵是能合理地構(gòu)建空間坐標(biāo)系.

    總之,本題在解決方法上利用向量手段解決幾何問題,很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.同時,空間向量在立體幾何中的應(yīng)用為考生創(chuàng)造了幾何證明的新思路,體現(xiàn)了解決問題策略的多樣化.另外,本題通過開放性問題的設(shè)計,給學(xué)生留出了較大的思維空間,為學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題建立了一個平臺.

(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a.

在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB.同理,PA⊥AD.所以PA⊥平面ABCD.

(2)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H,連結(jié)EH.

則EH⊥AC,∠EHG即為二面角θ的平面角.

又PE∶ED=2∶1,所以EG=a,AG=a,EH=AGsin60°=a.

從而tanθ==,θ=30°.

(3)證明:當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時,BF∥平面AEC,證明如下:

取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則FM∥CE.          ①

由EM=PE=ED,知E是MD的中點(diǎn).

連結(jié)BM、BD,設(shè)BD∩AC=O,則O為BD的中點(diǎn).所以BM∥OE.   ②

由①②知,平面BFM∥平面AEC.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大��;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大�。�
(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=60°,SA=AB=a,SB=SD=
2
SA,點(diǎn)P在SD上,且SD=3PD.
(1)證明SA⊥平面ABCD;
(2)設(shè)E是SC的中點(diǎn),求證BE∥平面APC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E、F、G分別為CD、PD、PB的中點(diǎn).PA=AD=2.
(1)證明:PC∥平面FAE;
(2)求二面角F-AE-D的平面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=2,PB=PD=2
2
,點(diǎn)F是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PC⊥BD;
(Ⅱ)求BF與平面ABCD所成角的大��;
(Ⅲ)若點(diǎn)E在棱PD上,當(dāng)
PE
PD
為多少時二面角E-AC-D的大小為
π
6
?
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻锝夊箣閿濆憛鎾绘煕閵堝懎顏柡灞剧洴楠炴﹢鎳犻澶嬓滈梻浣规偠閸斿秶鎹㈤崘顔嘉﹂柛鏇ㄥ灠閸愨偓濡炪倖鍔﹀鈧紒顔煎缁辨挻鎷呴幓鎺嶅濠电姰鍨煎▔娑㈩敄閸曨厽宕查柛鈩冪⊕閻撳繘鏌涢锝囩畺闁革絾妞介弻娑㈡晲閸涱喛纭€缂備浇椴哥敮锟犲箖閳哄懏顥堟繛鎴炲笚閻庝即姊绘担鍛婃儓闁活剙銈稿畷浼村冀椤撶姴绁﹂梺纭呮彧缁犳垹绮诲☉銏♀拻闁割偆鍠撻埊鏇熴亜閺傚灝顏慨濠勭帛閹峰懘宕ㄦ繝鍌涙畼濠电儑绲藉ú锕€顪冩禒瀣櫜闁绘劖娼欑欢鐐烘煙闁箑鍔﹂柨鏇炲€归悡鏇㈡煛閸ャ儱濡奸柣蹇曞У娣囧﹪顢曢敐蹇氣偓鍧楁煛鐏炲墽娲撮柍銉畵楠炲鈹戦崶鈺€澹曠紓鍌氬€风粈渚€顢栭崨顖涘床闁圭増婢橀悡姗€鏌熸潏楣冩闁稿﹦鍏橀弻銈囧枈閸楃偛顫梺鍛婃煥閹诧紕鎹㈠☉姘e亾濞戞瑡缂氶柣顓滃€曢湁婵犲﹤绨肩花缁樸亜閺囶亞绋荤紒缁樼箓椤繈顢橀悢鍓蹭户闂傚倷鑳剁划顖涚仚闁诲繐绻戦悷鈺佺暦閹扮増鍊烽柣鎴炃氶幏娲煟鎼粹剝璐″┑顔炬暬婵℃挳宕橀埡鈧换鍡涙煟閹邦厽缍戞繛鎼枟椤ㄣ儵鎮欏顔煎壉濡炪倧濡囨晶妤呭箚閺冨牊鏅查柛銉╊棑鎼村﹪姊婚崒娆掑厡缂侇噮鍨跺畷婵嬫晝閸屾氨顦┑鐐叉閹稿摜绮堟径鎰厪闁割偅绻冮ˉ鎾趁瑰⿰鍕煁闁靛洤瀚伴獮妯兼崉閻╂帇鍨介弻娑樜熼搹瑙勬喖濡炪們鍔婇崕鐢稿箖濞嗘挸绠甸柟鐑樻尰椤斿嫰姊洪崜褏甯涢柣妤冨█瀵鈽夊Ο閿嬵潔闂佸憡顨堥崑鐐烘倶閸喓绠鹃悗鐢登归宀勬煕濞嗗繐鏆欐い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐙呯床婵犳鍠楅〃鍛涘▎鎾村仼闁割偅娲橀埛鎴犵磽娴g櫢渚涙繛鍫熸閺屻劑寮撮妸銈夊仐闂佺粯渚楅崰娑氱不濞戞ǚ妲堟繛鍡樺灥婵悂鏌f惔锛勭暛闁稿骸宕灋鐎光偓閸曨偆顔嗗┑鐐叉▕娴滄繈鍩涢幋锔界厱婵炴垶锕崝鐔虹磼閻樿櫕宕岄柟顔筋殔椤繈鎮℃惔锛勭潉闂備浇妗ㄧ粈浣虹矓閻熼偊鍤曟い鏇楀亾鐎规洘甯掗オ浼村椽閸愵亜绨ラ梻鍌氬€风粈渚€骞栭銈嗗仏妞ゆ劧绠戠壕鍧楁煙閹澘袚闁稿鏅滅换娑橆啅椤旇崵鍑归梺缁樻尰缁嬫垿婀侀梺鎸庣箓閹冲繘骞夐幖浣告瀬闁割偅鎯婇弮鍫熷亹闂傚牊绋愮划璺衡攽閻愬弶鈻曢柛娆忓暣婵″瓨绗熼埀顒€顕f禒瀣垫晣闁绘劙娼ч獮鎰版⒒娴e憡鍟為柛鏃€鍨垮畷婵嗩吋婢跺鈧爼鏌涢鐘插姕闁稿﹦鏁婚幃宄扳枎韫囨搩浠剧紓浣插亾闁告劏鏂傛禍婊堟煏婵炲灝鍔甸棅顒夊墯椤ㄣ儵鎮欑拠褑鍚悗娈垮枙缁瑩銆佸鈧幃娆撴濞戞ḿ顔囬梻鍌氬€风粈渚€骞夐敓鐘茬闁硅揪绠戠粈澶愬箹濞n剙濡肩痪鎯х秺閺屻劑鎮ら崒娑橆伓

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