Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x²+ax+2．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令a=-1，b∈R，已知函數(shù)g（x）=b+2bx-x²．若對任意x₁∈（-1，+∞），總存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題知道了函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)，求a范圍，可以轉化為f'（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，由此求解參數(shù)范圍即可；
（2）分類討論求出函數(shù)g（x）的最小值，使g（x）的最小值恒小于等于f（x）的最小值，從而求出a的取值范圍

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)?f′（x）=

1

x+1

-2x+a≤0
在[1，+∞）上恒成立?a≤2x-

1

x+1

在[1，+∞）上恒成立，
令h（x）=2x-

1

x+1

，由h′（x）＞0（或利用增函數(shù)減減函數(shù)）?h（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)?h（x）min=h（1）=

3

2

，
所以a≤

3

2

；

（2）若對任意x₁∈[-1，+∞），總存在x₂∈[-1，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的值域是函數(shù)g（x）在[-1，+∞）上的值域的子集．對于函數(shù)f（x），因為
a=-1，所以f（x）=ln（x+1）-x²-x+2，定義域（-1，+∞）
f′（x）=

1

x+1

-2x-1=

-2x2-3x

x+1

令f′（x）=0得x₁₌₀x2=-

3

2

（舍去）．
當x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

所以f（x）max=f（0）=2?所以f（x）的值域為（-∞，2）
對于函數(shù)g（x）=-x²+2bx+b=-（x-b）²+b+b²
①當b≤-1時，g（x）的最大值為g（-1）=-1-b?g（x）值域為（-∞，-1-b]
由-1-b≥2?b≤3；
②當b＞-1時，g（x）的最大值為g（b）=b²+b?g（x）值域為（-∞，b²+b]
由b²+b≥2?b≥1或b≤-2（舍去），
綜上所述，b的取值范圍是（-∞，-3]∪[1．+∞）．

點評：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及分類討論的思想，解題的關鍵是對于恒成立的理解，是一道綜合題