Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中點．
（Ⅰ）求證：直線BB₁∥平面D₁DE；
（Ⅱ）求證：平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（Ⅲ）求三棱錐A-A₁DE的體積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)長方體的幾何特征，我們易得到BB₁∥DD₁，結合線面平行的判定定理，即可得到直線BB₁∥平面D₁DE；
（Ⅱ）由已知中長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中點，利用勾股定理，我們易證明出AE⊥DE，及DD₁⊥AE，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AE⊥平面D₁DE，進而由面面垂直的判定定理得到平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（Ⅲ）三棱錐A-A₁DE可看作由AA1為高，以三角形ADE為底面的棱錐，分別求出棱錐的高和底面面積，代入棱錐的體積公式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，
又∵BB₁?平面D₁DE，DD₁⊆平面D₁DE
∴直線BB₁∥平面D₁DE（4分）
（Ⅱ）證明：在長方形ABCD中，∵AB=AA₁=1，AD=2，
∴AE=DE=

2

，
∴AE²+DE²=4=AD²，故AE⊥DE，（6分）
∵在長方形ABCD中有DD₁⊥平面ABCD，AE⊆平面ABCD，
∴DD₁⊥AE，（7分）
又∵DD₁∩DE=D，
∴直線AE⊥平面D₁DE，（8分）
而AE⊆平面A₁AE，
所以平面A₁AE⊥平面D₁DE．（10分）
（Ⅲ）VA-A1DE=VA1-ADE=

1

3

AA1×S△ADE=

1

3

×1×

1

2

×1×2=

1

3

．（14分）．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面平行、垂直的判定定理及平面與平面垂直的判定定理及長方體的幾何特征是解答本題的關鍵．