Question

選修4—1：幾何證明選講

D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合。已知AE的長(zhǎng)為，AC的長(zhǎng)為,AD、AB的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。

（1）證明：C、B、D、E四點(diǎn)共圓；

（2）若∠A=90°，，且，求C、B、D、E所在圓的半徑。

Answer 1

解析：（I）連接DE，根據(jù)題意在△ADE和△ACB中，

                

即.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB  因此∠ADE=∠ACB                                 

 所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓。

（Ⅱ）m=4, n=6時(shí)，方程x²-14x+mn=0的兩根為x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.

取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.

由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.

故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5