Question

已知半徑為5的圓的圓心在x的正半軸上，且被直線x-y+5=0截得的弦長(zhǎng)為2

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（1）求圓的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得直線ax-y+5=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（-1，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離、半徑、半弦長(zhǎng)滿足勾股定理，求出圓心坐標(biāo)，然后求圓的方程；
（2）利用直線ax-y+5=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求出a的范圍，通過(guò)k_AB•k_CP=-1，求出實(shí)數(shù)a的值；即可得到過(guò)點(diǎn)P（-1，4）的直線l垂直平分弦AB存在．

解答：解：（1）因?yàn)榘霃綖?的圓的圓心在x的正半軸上，且被直線x-y+5=0截得的弦長(zhǎng)為2

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圓心坐標(biāo)為（a，0），所以(

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)2=52-(

|a+5|

2

)2，解得a=1，
所以所求圓的方程為：（x-1）²+y²=25
（2）因?yàn)橹本�和圓相交，故由d＜r，即

|a+5|

1+a2

＜5，
解得：a＜0或a＞

5

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…(*)
若經(jīng)過(guò)P的直線l垂直平分弦AB，則直線也經(jīng)過(guò)圓心C（1，0），
∴AB⊥CP
∴k_AB•k_CP=-1，得a=

1

2

，滿足（*），
故存在實(shí)數(shù)a=

1

2

，使問(wèn)題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．