Question

已知函數(shù)y=f（x）（x≠0）對(duì)于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù)；
（3）若y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式．

Answer 1

（1）解：∵對(duì)于任意的x，y∈R且x，y≠0滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得到：f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0；
（2）證明：由題意可知，令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）為偶函數(shù)；
（3）解：由（2）函數(shù)f（x）是定義在非零實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)．
∴不等式可化為，f（||）≤f（1），
∴，即：-6≤x（x-5）≤6且x≠0，x-5≠0，
在坐標(biāo)系內(nèi)，如圖函數(shù)y=x（x-5）圖象與y=6，y=-6兩直線．
由圖可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集為：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．
分析：（1）賦值法：在所給等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=-1可求得f（-1）；
（2）在所給等式中令y=-1，可得f（-x）與f（x）的關(guān)系，利用奇偶性的定義即可判斷；
（3）由題意不等式可化為f（||）≤f（1），根據(jù)單調(diào)性即可去掉符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式即可解得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的求值、奇偶性的判斷及抽象不等式的解法，定義是解決抽象函數(shù)問題的常用方法，解抽象不等式關(guān)鍵是利用函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為具體不等式．