Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2x）=2f²（x）-1，現(xiàn)給定下列幾個命題：
（1）f（x）≥-1；
（2）f（x）不可能是奇函數(shù)；
（3）f（x）不可能是常數(shù)函數(shù)；
（4）若f（x₀）=a（a＞1），則不存在常數(shù)M，使得f（x）≤M恒成立；
在上述命題中錯誤命題的個數(shù)為（　　）個．

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：本題是一個多選題，對抽象表達(dá)式f（2x）=2f2（x）-1表達(dá)的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行推斷，應(yīng)該注意函數(shù)f（x）=cosx符合此表達(dá)式，易判斷①②③的真假，至于選項④，顯然不是函數(shù)f（x）=cosx的性質(zhì)，應(yīng)為真命題

解答：解：（1）∵f（x）=f（2×

x

2

）=2f²（

x

2

）-1≥-1，故（1）正確
（2）∵f（0）=2f²（0）-1，解得f（0）=1或-

1

2

，即f（0）≠0，f（x）不可能為奇函數(shù)，故（2）正確
（3）若f（x）=1，或f（x）=-

1

2

，則函數(shù)f（x）滿足f（2x）=2f²（x）-1，故（3）錯誤
（4）若f（x₀）=a（a＞1），則此函數(shù)沒有上界，即不存在常數(shù)M，使得f（x）≤M成立，故④正確
故選D

點評：本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式的意義，解題時要能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，熟練的運用特殊函數(shù)，特殊值等方法準(zhǔn)確做出判斷