Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于， 兩點(diǎn)，其中，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：(1)首先求得切線斜率 ，且，據(jù)此由點(diǎn)斜式寫出切線方程.

(2)由令，得， .分類討論： ， ， ，三種情況即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)經(jīng)分析可知，證明原問題只需證明，構(gòu)造函數(shù)，可證得，即得證．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， （），

則（），.

又，所以切線方程為，即.

（Ⅱ），令，得， .

①當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得，

所以當(dāng)時(shí)， 單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為.

②當(dāng)，即時(shí)，令，得或，

所以當(dāng)， 單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為.

③當(dāng)，即時(shí)， ，

易知單調(diào)增區(qū)間為 .

（Ⅲ）根據(jù)題意， .（以下用分析法證明）

要證，只要證，

只要證，

令，則只需證： ，令，

則，所以在上遞增，

∴，即，同理可證： ，

綜上， ，即得證．