Question

已知如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC與BD的交點(diǎn)為O，SO⊥平面ABCD，E為側(cè)棱SC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：平面SAC⊥平面BDE；
（2）若E為SC的中點(diǎn)，求證：SA∥平面BDE；
（3）若E為SC的中點(diǎn)，AB=SO=a，∠BAD=60°，求三棱錐S-BDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，知SA⊥BD，由底面ABCD為正方形，知BD⊥AC，由此能夠證明面EBD⊥面SAC．
（2）要證明SA∥平面BDE，只需證明SA平行于平面BDE內(nèi)的一條直線即可，而E為中點(diǎn)，所以連接AC、BD交于點(diǎn)O．由條件知道O為AC中點(diǎn)，從而EO為三角形SAC的中位線，從而得到SA∥OE，得證；
（3）由已知中E為SC的中點(diǎn)，AB=SO=a，∠BAD=60°，先求出三棱錐S-BDC的體積和三棱錐E-BDC的體積，相減可得答案．

解答： 證明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵底面ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC，
∵BD?平面EBD，
∴面EBD⊥面SAC．
（2）連接OE，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
又∵E為SC的中點(diǎn)，
∴OE為三角形SAC的中位線，
∴SA∥OE，
又∵OE?面BDE，SA?面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（3）∵AB=SO=a，∠BAD=60°，
∴S_△BCD=

1

2

BC•CD•sin60°=

3

4

a2，
∴三棱錐S-BDC的體積為：

1

3

×

3

4

a2×a=

3

12

a3，
∵E為SC的中點(diǎn)，
故三棱錐E-BDC的高為：

1

2

a，
故三棱錐E-BDC的體積為：

1

3

×

3

4

a2×

1

2

a=

3

24

a3，
故三棱錐S-BDE的體積V=

3

12

a3-

3

24

a3=

3

24

a3

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，難度中檔．