已知函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),當
時,有
(其中
為自然對數(shù)的底,
).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設,
,求證:當
時,
;
(3)試問:是否存在實數(shù),使得當
時,
的最小值是3?如果存在,求出實數(shù)
的值;如果不存在,請說明理由.
(1)
(2)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值來證明成立。
(3)當時,函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值是3
【解析】
試題分析:解:(1)當時,
,
則,
又是奇函數(shù),
所以,
因此,;
4分
(2)證明:令,
當時,注意到
,所以
5分
① 當時,注意到
,有
;
6分
② 當時,
, 7分
故函數(shù)在
上是增函數(shù),從而有
,
所以當時,有
,
8分
又因為是偶函數(shù),故當
時,同樣有
,即
,
綜上所述,當時,有
;
9分
(2)證法二:當時,
,
求導得,令
得
,
5分
于是可得當時,
;
時,
,
所以在
處取得最大值
,所以
.
6分
又記,當
時,有
,
7分
求導得,當
時,
,
所以在
上單調(diào)遞增,于是
,
所以,在在上總有
.
8分
注意到和
的偶函數(shù)性質(zhì),
所以當時,有
(
);
9分
(3)當時,
,
求導得,令
得
,
10分
① 當時,
,
在區(qū)間
上是增函數(shù),故此時函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值為
,不滿足要求;
11分
② 當,即
時,
,
所以在區(qū)間
上是增函數(shù),此時函數(shù)
在區(qū)間
的最小值為
,
令,得
,也不滿足要求;
12分
③ 當時,可得
在區(qū)間
上是減函數(shù),在區(qū)間
上是增函數(shù),所以當
時,
,
令,得
,滿足要求.
13分
綜上可得,當時,函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值是3. 14分
考點:導數(shù)的應用
點評:解決的關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的符號于函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來判定單調(diào)性,進而得到最值,屬于基礎題
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆廣西柳州鐵路一中高一上學期第一次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)用單調(diào)性的定義證明在
上是增函數(shù);
(3)解不等式。
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆遼寧省本溪市高一上學期第一次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
,
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)用定義證明在(-1 ,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆廣東省高二下期中文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)是定義在
上的以5為周期的奇函數(shù), 若
,
,則a的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年浙江省協(xié)作體高三3月調(diào)研理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),當
時,
(其中e是自然界對數(shù)的底,
)
(Ⅰ)設,求證:當
時,
;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使得當時,
的最小值是3 ?如果存在,求出實數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源:黑龍江省2012屆高二下學期期末考試數(shù)學(理) 題型:解答題
已知函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)判斷并證明在
的單調(diào)性;
(3)解不等式
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