Question

定義在（0，+∞）上函數f（x）滿足對任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），記數列a_n=f（2ⁿ），有以下命題：①f（1）=0； ②a₁=a₂； ③令函數g（x）=xf（x），則g（x）+g（

1

x

）=0；④令數列b_n=2ⁿ+a_n，則數列（b_n）為等比數列；其中真命題的為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：令x=y=1代入所給的式子求出f（1）的值，并判斷①真假；令x=y=2代入式子化簡，再結合數列的通項公式進行判斷②的真假；令y=

1

x

代入式子化簡后，再由函數g（x）的解析式轉化，判斷③真假；利用{b_n}的通項公式分別求出b₁、b₂、b₃，令x=2，y=4代入式子化簡后，再由等比數列的定義判斷④真假．

解答： 解：令x=y=1，代入xyf（xy）=xf（x）+yf（y）得，f（1）=0，①正確；
令x=y=2，得4f（4）=2f（2）+2f（2），即f（4）=f（2），
又由a_n=f（2ⁿ）得，a₁=f（2），a₂=f（4），則a₁=a₂，②正確；
令y=

1

x

，得f（1）=xf（x）+

1

x

f（

1

x

），
由g（x）=xf（x），得g（x）+g（

1

x

）=f（1）=0，③正確；
由b_n=2ⁿ+a_n，得b₁=2+a₁，b₂=4+a₂，b₃=8+a₃，而a₁=a₂，a₃=f（8），
令x=2，y=4，得8f（8）=2f（2）+4f（4），
化簡得，f（8）=

3

4

f（2），即a₃=

3

4

a₂=

3

4

a₁，
顯然b₁、b₂、b₃不是等比數列中的項，所以數列{b_n}不是等比數列，④錯．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了抽象函數，及數列通項公式和等比數列定義的應用，此題的關鍵是根據條件正確給x和y值，利用恒等式進行求解，考查了解決抽象函數問題常用的方法：賦值法．