Question

在直角坐標(biāo)系中，由動(dòng)點(diǎn)P引圓的兩條切線PA、PB．直線PA、PB的斜率分別為、．

(1)若，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

(2)若點(diǎn)P在直線x＋y=t上，且PA⊥PB，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y－b=k(x－a)，即 (2)kx－y＋b－ak=0． 由，得 ． ， ＞10． 將，代入，得 ，化簡(jiǎn)，得 (＞10)． 所以所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(＞10)， 即(＞10)． (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，t－a)． 因?yàn)?/FONT>PA⊥PB，所以． 結(jié)合(1)可知， 化簡(jiǎn)，得． 由=－8(－20)≥0， 得≤40． 但當(dāng)=40即t=±時(shí)， a=±與－10≠0矛盾． 所以t∈(－，)． 另法：由題意知，OAPB為正方形． 因?yàn)?/FONT>， 所以點(diǎn)P在圓上． 又點(diǎn)B在直線x＋y=t上， 所以直線x＋y=t與圓相切或相交． 于是，由≤得≤． 但當(dāng)t=±時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(－，－)，此時(shí)，、中有一個(gè)為零，另一個(gè)不存在，故t≠±． 所以t∈(－，)．