Question

在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，
（Ⅰ）若A、B、C成等差數(shù)列，且a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形；
（Ⅱ）若cosA、cosB、cosC成等比數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）通過(guò)A、B、C成等差數(shù)列，且a、b、c成等比數(shù)列，結(jié)合正弦定理以及余弦定理即可證明△ABC為等邊三角形；
（Ⅱ）利用cosA、cosB、cosC成等比數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，通過(guò)正弦定理以及余弦定理即可證明△ABC為等邊三角形．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，若A、B、C成等差數(shù)列，則2B=A+C，又A+B+C=π
所以B=

π

3

…（2分）
因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，所以b²=ac…（4分）
故由a²+c²-2accosB=b²有a²+c²-2ac=0，所以a=c…（6分）
所以△ABC為等邊三角形…（7分）
（Ⅱ）在△ABC中，因?yàn)閏osA、cosB、cosC成等比數(shù)列
所以cos²B=cosA•cosC…（8分）
因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，所以b²=ac
由正弦定理有sin²B=sinA•sinC…（10分）
所以cosA•cosC+sinA•sinC=1即cos（A-C）=1…（11分）
所以A=C…（12分）
所以a=c，且b²=ac，所以a=c=b…（13分）
故△ABC為等邊三角形…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀的判斷與證明，正弦定理以及余弦定理，數(shù)列的基本知識(shí)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．