Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x） 的導(dǎo)數(shù)，若f″（x）=0 有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+2x-2，請解答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標(biāo)；
（2）求證f（x）的圖象關(guān)于“拐點”A對稱．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)“拐點”的定義求出f''（x）=0的根，然后代入函數(shù)解析式可求出“拐點”A的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)中心對稱的定義即可證明．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3x²-6x+2，
∴f''（x）=6x-6，
令f''（x）=6x-6=0，
得x=1，f（1）=-2 
所以“拐點”A的坐標(biāo)為（1，-2）
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是y=f（x）圖象上任意一點，則y0=x03-3x02+2x0-2 
∴P（x₀，y₀）關(guān)于（1，-2）的對稱點P'（2-x₀，-4-y₀），
把P'（2-x₀，-4-y₀）代入y=f（x），得左邊=-4-y0=-x03+3x02-2x0-2 
右邊=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-x03+3x02-2x0-2 
∴左邊=右邊，
∴P'（2-x₀，-4-y₀）在y=f（x）圖象上，
∴f（x）的圖象關(guān)于“拐點”A對稱．

點評：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點對稱的條件．