Question

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=僅有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅲ）若f（x）＞t（x-1）（t∈Z）對任意x＞1恒成立，求t的最大值．

Answer 1

解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，
故f′（e）=3，
即a+lne+1=3，
∴a=1．
（2）∵
=1+lnx+，
∴=，（x＞0）
令g′（x）=0，解得，或x=2，
列表如下

x	（0，）		（）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值 4-ln2-k	↓	極小值	↑

由于x→0時，g（x）→-∞，x→+∞，g（x）→+∞，
要使g（x）僅有一個零點，則必須
，或，
∴k＞4-ln2，或k＜，
∴k∈．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1時恒成立，
即t＜在x＞1恒成立，
令p（x）=（x＞1），，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
則，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)增加，
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，
h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一實數(shù)根x₀，且滿足x₀∈（3，4），
當(dāng)x∈（1，x₀）時，h（x）＜0，∴，
函數(shù)p（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h（x）＞0，∴，
函數(shù)p（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞增，
∴，
∵h(yuǎn)（x₀）=0，即x₀-lnx₀-2=0，
∴l(xiāng)nx₀=x₀-2．
∴=x₀∈（3，4），
∴t＜=x₀∈（3，4），
故t的最大值為3．
分析：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（a）=3，由此能求出a．
（2）由=1+lnx+，知=，（x＞0），令g′（x）=0，解得，或x=2，列表討論能求出k的范圍．
（3）由x+xlnx＞t（x-1）在x＞1時恒成立，即t＜在x＞1恒成立，令p（x）= （x＞1），，由此能夠求出t的最大值．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，是一道難題．