Question

10．已知雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂．若點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），過雙曲線左焦點(diǎn)且斜率為$\frac{5}{12}$的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)P，則${S_{△PM{F_1}}}-{S_{△PM{F_2}}}$=（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 過雙曲線左焦點(diǎn)F₁（-3，0）且斜率為$\frac{5}{12}$的直線方程為：5x-12y+15=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y+15=0}\\{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\end{array}\right.$⇒P（3，$\frac{5}{2}$）所以直線PF₂的方程為：x=3，
求出點(diǎn)M到直線PF₁，PF₂的距離分別為d₁、d₂，即可

解答 解：過雙曲線左焦點(diǎn)F₁（-3，0）且斜率為$\frac{5}{12}$的直線方程為：5x-12y+15=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y+15=0}\\{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$∴P（3，$\frac{5}{2}$）
所以直線PF₂的方程為：x=3，
設(shè)點(diǎn)M到直線PF₁，PF₂的距離分別為d₁、d₂，
d₁=$\frac{5×2-12×1+15}{\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}}=1$，d₂=1．
則${S_{△PM{F_1}}}-{S_{△PM{F_2}}}$=$\frac{1}{2}（P{F}_{1}-P{F}_{2}）×1=a=2$．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線與直線的位置關(guān)系，面積計(jì)算，屬于中檔題．