Question

課本小結(jié)與復(fù)習(xí)的參考例題中，給大家分別用“綜合法”，“比較法”和“分析法”證明了不等式：已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a²+b²=1，c²+d²=1，則|ac+bd|≤1．這就是著名的柯西（Cauchy．法國）不等式當n=2時的特例，即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立．
請分別用中文語言和數(shù)學(xué)語言簡潔地敘述柯西不等式，并用一種方法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)柯西不等式的內(nèi)容即：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），結(jié)合文字語言表述，最后利用基本不等式進行證明即可得出正確答案．
解答：解：數(shù)學(xué)語言簡潔地敘述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立；
中文語言簡潔地敘述柯西不等式：
兩個實數(shù)的平方和的積 不小于它們積的和的平方．取等號的條件是兩列數(shù)對應(yīng)成比例．
二維形式的證明：（a²+b²）（c²+d²）（a，b，c，d∈R）=a²•c²+b²•d²+a²•d²+b² •c²
=a²•c²+2abcd+b²•d²+a²•d² -2abcd+b²•c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）² 2≥（ac+bd） ²，
等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立．
點評：本題主要考查了二元形式的柯西不等式的內(nèi)容與形式，柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視．