如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由．
（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
．
∴
18
a2
+
2
b2
=1
c
a
=
2
2
3
a2=b2+c2
，解得
a2=36
b2=4，c2=32
．
因此橢圓方程為
x2
36
+
y2
4
=1
（2）設(shè)直線MA的斜率為k，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵∠AMB的平分線與y軸平行，∴直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，
設(shè)直線MB的斜率為k，聯(lián)立直線MA與橢圓方程：
y=kx+
2
-3
2
k
x2
36
+
y2
4
=1
，
整理得(9k2+1)x2+18
2
k(1-3k)x+162k2-108k-18=0，
解得x1=
18
2
(3k2-k)
9k2+1
-3
2
，x2=
18
2
(3k2+k)
9k2+1
-3
2
，
可得x2-x1=
36
2
k
9k2+1
，x2+x1=
108
2
k2
9k2+1
-6
2
，
又y2-y1=-k(x2+x1)+6
2
k=
-108k3
9k2+1
+12
2
k=
12
2
k
9k2+1
，
∴kAB=
y2-y1
x2-x1
=
12
2
k
9k2+1
36
2
k
9k2+1
=
1
3
為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+
y2
4
=1兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足
PF1
•
PF2
=1，過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)P為拋物線y=x2上一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點(diǎn)是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點(diǎn)是C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)x取何值時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠OQA為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線C：（5-m）x2+（m-2）y2=8（m∈R）
（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G．求證：A，G，N三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線x+y-
3
=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為
1
2
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若
MA
•
MB
=0，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，圓Q過O點(diǎn)與F點(diǎn)，且圓心Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為
3
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△OAB的面積；
（3）已知拋物線上一點(diǎn)M（4，4），過點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，為⊙的兩條切線，切點(diǎn)分別為，過的中點(diǎn)作割線交⊙于兩點(diǎn)，若則          .

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同步練習(xí)冊(cè)答案