分析 (I)求得函數(shù)f(x)=xsinx+cosx的導函數(shù),根據(jù)導函數(shù)的單調(diào)性來求實數(shù)k的取值范圍;
(II)求出函數(shù)的導數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點的判定定理證明即可.
解答 解:( I)f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,
∴x∈(0,$\frac{π}{2}$)時,f'(x)>0,x∈($\frac{π}{2}$,π)時,f'(x)<0,
即f(x)在∈(0,$\frac{π}{2}$)遞增,在($\frac{π}{2}$,π)遞減,故f(x)min=min{f(0),f(π)}.
又f(0)=1,f(π)=cosπ=-1
∴k≤-1.
( II)f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,
∴x∈(2,3)時,f'(x)=xcosx<0,
∴函數(shù)f(x)在(2,3)上是減函數(shù),
又f(2)=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=$\sqrt{2}$sin(2+$\frac{π}{4}$)+sin2>0,
∵3sin3<3sin$\frac{11π}{12}$=3sin$\frac{π}{12}$=3sin($\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$)=3×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≈0.75,
cos3<cos$\frac{11π}{12}$=-cos$\frac{π}{12}$=-cos($\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$)=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$≈-0.95,
∴f(3)=3sin3+cos3<0,
由零點存在性定理,f(x)在區(qū)間(2,3)上只有1個零點.
點評 本題考查了函數(shù)的零點判定定理,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | 10 | B. | $\sqrt{10}$ | C. | 4 | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 最大值6 | B. | 最小值6 | C. | 最大值-6 | D. | 最小值-6 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
A. | $\widehat{y}$=0.87x+0.32 | B. | $\widehat{y}$=3.42x-3.97 | C. | $\widehat{y}$═1.23x+0.08 | D. | $\widehat{y}$═2.17x+32.1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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