Question

20．已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx
（I）若f（x）＞k對任意的x∈（0，π）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（II）判斷f（x）在區(qū)間（2，3）上的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （I）求得函數(shù)f（x）=xsinx+cosx的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的單調(diào)性來求實數(shù)k的取值范圍；
（II）求出函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點的判定定理證明即可．

解答 解：（ I）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
∴x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f'（x）＞0，x∈（$\frac{π}{2}$，π）時，f'（x）＜0，
即f（x）在∈（0，$\frac{π}{2}$）遞增，在（$\frac{π}{2}$，π）遞減，故f（x）_min=min{f（0），f（π）}．
又f（0）=1，f（π）=cosπ=-1
∴k≤-1．
（ II）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
∴x∈（2，3）時，f'（x）=xcosx＜0，
∴函數(shù)f（x）在（2，3）上是減函數(shù)，
又f（2）=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=$\sqrt{2}$sin（2+$\frac{π}{4}$）+sin2＞0，
∵3sin3＜3sin$\frac{11π}{12}$=3sin$\frac{π}{12}$=3sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=3×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≈0.75，
cos3＜cos$\frac{11π}{12}$=-cos$\frac{π}{12}$=-cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$≈-0.95，
∴f（3）=3sin3+cos3＜0，
由零點存在性定理，f（x）在區(qū)間（2，3）上只有1個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的零點判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．