Question

【題目】若x∈[1，+∞）時，關(guān)于x的不等式 ≤λ（x﹣1）恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】[ ,+∞）
【解析】解：x∈[1，+∞）時， ≤λ（x﹣1）xlnx﹣λ（x2﹣1）≤0，

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx﹣λ（x2﹣1），從而對任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤0=f（1）恒成立，

又f′（x）=lnx+1﹣2λx．

①當f′（x）=lnx+1﹣2λx≤0，即 時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，設(shè)g（x）= ，則g′（x）= ，g（x）max=g（1）=1，

即1≤2λ，∴ ，符合題意；

②當λ≤0時，f′（x）=lnx+1﹣2λx≥0恒成立，此時f（x）單調(diào)遞增，于是不等式f（x）≥f（1）=0對任意x∈[1，+∞）恒成立，不符合題意；

③當0＜λ＜ 時，設(shè)h（x）=f′（x）=lnx+1﹣2λx，則h′（x）= ，可得x= ＞1．

當x∈（1， ）時，h′（x）= ＞0，此時h（x）=f′（x）=lnx+1﹣2λx單調(diào)遞增，∴f′（x）=lnx+1﹣2λx＞f′（1）=1﹣2λ＞0，

故當x∈（1， ）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，于是，當x∈（1， ）時，f（x）＞0恒成立，不符合題意．

綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍為[ ，+∞）．

所以答案是：[ ，+∞）．