Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥CD．

(Ⅰ)求證：CD⊥PD；

(Ⅱ)若AD＝2，BC＝3，F為PD中點(diǎn)，BE＝，求證：EF∥平面PAB．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD，CDÍ 平面ABCD， 　　∴PA⊥CD　　2分 　　又CD⊥AD，PA∩AD＝A， 　　∴CD⊥平面PAD　　4分 　　∵PDÍ 平面PAD， 　　∴CD⊥PD　　6分 　　(Ⅱ)法一：連接DE并延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于G　　8分 　　∵BC＝3，BE＝　∴BE＝1　∵AD＝2　∴BE＝AD 　　∵BE∥AD，∴E為DG的中點(diǎn)　　10分 　　又F為PD的中點(diǎn)，∴EF∥PG　　11分 　　又PGÍ 平面PAB，EFË 平面PAB， 　　∴EF∥平面PAB　　15分 　　法二：取AD的中點(diǎn)H，連接HE． 　　∵F為PD的中點(diǎn)，∴FH∥PA　　7分 　　又PAÍ 平面PAB，FHË 平面PAB， 　　∴FH∥平面PAB　　9分 　　∵AD＝2，H為AD的中點(diǎn)　∴AH＝1　∵BC＝3，BE＝　∴BE＝1　∴AH＝BE， 　　∵AH∥BE　∴四邊形AHEB為平行四邊形． 　　∴HE∥AB　　10分 　　又ABÍ 平面PAB，HEË 平面PAB， 　　∴HE∥平面PAB　　12分 　　∵FH∩HE＝H， 　　∴平面FHE∥平面PAB　　13分 　　而EFÍ 平面FHE， 　　∴EF∥平面PAB　　15分