Question

（2013•鐵嶺模擬）F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面積分別為S₁，S₂，S₃，則

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

的值為（　　）

A．3

B．4

C．6

D．9

Answer 1

分析：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），結(jié)合拋物線方程可得S₁²+S₂²+S₃²=x₁+x₂+x₃，再由三角形重心坐標(biāo)公式，得到x₁+x₂+x₃=3，進(jìn)而得到

S

2 1

+

S

2 2

+

S

2 3

的值．

解答：解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），則
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（1，0）
∴S₁=

1

2

|y₁|，S₂=

1

2

|y₂|，S₃=

1

2

|y₃|
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（y₁²+y₂²+y₃²），
∵A、B、C在拋物線y²=4x上，∴

1

4

y₁²=x₁，

1

4

y₂²=x₂，

1

4

y₃²=x₃，
由此可得：S₁²+S₂²+S₃²=x₁+x₂+x₃，
∵點(diǎn)F（1，0）是△ABC的重心，
∴

1

3

（x₁+x₂+x₃）=1，可得x₁+x₂+x₃=3
因此，S₁²+S₂²+S₃²=3
故選：A

點(diǎn)評：本題給出拋物線的內(nèi)接三角形以拋物線焦點(diǎn)為重心，求三個三角形面積的平方和．著重考查了三角形的重心公式、拋物線的基本概念和簡單性質(zhì)等知識，屬于中檔題．