Question

△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（1）求角A；
（2）若a=

7

，且△ABC的面積為

3 3

2

，求b+c的值
（3）若a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦后，通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，利用正弦定理變形后，求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA與已知面積代入求出bc的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，bc與cosA的值代入求出b²+c²的值，聯(lián)立求出b與c的值，即可確定出b+c的值；
（3）利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出b與c，進(jìn)而表示出b+c，利用正弦函數(shù)的值域及三角形三邊關(guān)系求出b+c的范圍即可．

解答： 解：（1）已知等式變形得：

cosAsinB

cosAsinB

+

sinAcosB

cosAsinB

=

sin(A+B)

cosAsinB

=

sinC

cosAsinB

=

2c

b

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，即cosA=

1

2

，
則A=

π

3

；
（2）∵sinA=

3

2

，△ABC的面積為

3 3

2

，
∴

1

2

bcsinA=

3 3

2

，即

3

4

bc=

3 3

2

，
∴bc=6，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即7=b²+c²-6，即b²+c²=13，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=13+12=25，即b+c=5；
（3）∵a=2，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，
整理得：b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
∴b+c=

4 3

3

（sinB+sinC）=

4 3

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]=

4 3

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）=4sin（B+

π

6

），
∵b+c＞a，sin（B+

π

6

）∈[-1，1]，
∴b+c的范圍為（2，4]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．