Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)y=mx+1與雙曲線(xiàn)C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)M（-2，0）和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l在y軸上截距b的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，
又該直線(xiàn)與圓相切
所以
可設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為
又雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為（，0），
所以2a²=2?a²=1
所求雙曲線(xiàn)C的方程為 x²-y²=1
（Ⅱ）由

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為
所以 直線(xiàn)l在y軸上截距b．
分析：（I）設(shè)出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，寫(xiě)出圓的方程，利用直線(xiàn)與圓相切的充要條件：圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑列出關(guān)于斜率的方程，求出漸近線(xiàn)斜率，根據(jù)漸近線(xiàn)的斜率判斷出是等軸雙曲線(xiàn)，根據(jù)雙曲線(xiàn)三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出雙曲線(xiàn)方程
（II）將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和及積，令和小于0積大于0求出m的范圍，同時(shí)求出兩個(gè)交點(diǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求出另一條直線(xiàn)的方程，令x=0得到縱截距，看成關(guān)于m的函數(shù)，求出函數(shù)的值域即縱截距的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線(xiàn)的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一般將直線(xiàn)的方程與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，作為突破口來(lái)找思路．