【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,證明:對恒成立.
【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)由函數(shù)的解析式可得,分類討論有:
①若,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減.
②若,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增.當(dāng)時,單調(diào)遞減.
③若,當(dāng)時,單調(diào)遞減.
④若,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減.
⑤若,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增.
(2)不等式等價于.
令,由均值不等式可得.結(jié)合(1)的結(jié)論可知當(dāng)時,.令,則,故,原命題成立.
詳解:(1),
①若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.
②若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增.
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.
③若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.
④若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.
⑤若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增.
(2)將整理可得:
,即.
令,則,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即.
當(dāng)時,由(1)可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以.
令,則在上單調(diào)遞減,
所以,所以,
即對恒成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法錯誤的是( )
A. 無論點在上怎么移動,異面直線與所成角都不可能是
B. 無論點在上怎么移動,都有
C. 當(dāng)點移動至中點時,才有與與相交于一點,記為點,且
D. 當(dāng)點移動至中點時,直線與平面所成角最大且為
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【題目】如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標(biāo)為(1,0).且點C與點D在函數(shù)f(x)= 的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,則該點取自空白部分的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣ 處取得極值.
(1)確定a的值;
(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)ex的單調(diào)性.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)當(dāng)a=﹣3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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【題目】已知某商品的進(jìn)貨單價為1元/件,商戶甲往年以單價2元/件銷售該商品時,年銷量為1萬件.今年擬下調(diào)銷售單價以提高銷量增加收益.據(jù)估算,若今年的實際銷售單價為元/件,則新增的年銷量(萬件).
(Ⅰ)寫出今年商戶甲的收益(單位:萬元)與的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)商戶甲今年采取降低單價提高銷量的營銷策略,是否能獲得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?請說明理由.
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【題目】已知橢圓C: =1,(a>b>0)的離心率為 ,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0)且不垂直于x軸直線l橢圓C相交于A、B兩點. (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求 取值范圍;
(Ⅲ)若B關(guān)于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)在上為增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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