【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時,證明:恒成立.

【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.

【解析】分析:(1)由函數(shù)的解析式可得分類討論有:

①若,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減.

②若,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增.當(dāng)時,單調(diào)遞減.

③若,當(dāng)時,單調(diào)遞減.

④若,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減.

⑤若,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增.

(2)不等式等價于.

,由均值不等式可得.結(jié)合(1)的結(jié)論可知當(dāng)時,.,則,原命題成立.

詳解:(1),

①若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.

②若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增.

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.

③若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.

④若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減.

⑤若,當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增,

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減,

當(dāng)時,,此時單調(diào)遞增.

(2)將整理可得:

,即.

,則

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即.

當(dāng)時,由(1)可知,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以.

,則上單調(diào)遞減,

所以,所以,

恒成立.

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