給定正整數(shù) n 和正數(shù) M，對(duì)于滿足條件a12+an+12≤M 的所有等差數(shù)列 a1，a2，a3，…．，試求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．
設(shè)公差為d，an+1=a，
則S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的前（n+1）項(xiàng)和，
所以S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+
n(n+1)
2
d．
同除以（n+1），得 a+
nd
2
=
S
n+1
．
則M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=
4
10
(a+
nd
2
)2+
1
10
(4a-3nd)2≥
4
10
(
S
n+1
)2
因此|S|≤
10
2
（n+1）
M
，
且當(dāng) a=
3
10
M
，d=
4
10
•
1
n
M
 時(shí)，
S=（n+1）〔
3
10
M
+
n
2
•
4
10
•
1
n
M
〕
=（n+1）
5
10
M
=
10
2
（n+1）
M

由于此時(shí)4a=3nd，故 a12+an+12=
4
10
(
S
n+1
)2=
4
10
•
10
4
M=M．
所以，S的最大值為
10
2
（n+1）
M
．
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