已知圓錐曲線C經(jīng)過定點P(3,2
3
),它的一個焦點為F(1,0),對應(yīng)于該焦點的準(zhǔn)線為x=-1,斜率為2的直線l交圓錐曲線C于A、B兩點,且|AB|=3
5
,求圓錐曲線C和直線?的方程.
分析:利用拋物線的定義,可得拋物線方程,直線方程代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理及弦長公式,即可求得直線方程.
解答:解:∵圓錐曲線的一個焦點為F(1,0),對應(yīng)于該焦點的準(zhǔn)線為x=-1,
∴圓錐曲線C是焦點為F(1,0)的拋物線,且p=2
∴拋物線方程為y2=4x;…(3分)
設(shè)?的方程為y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2
由y=2x+b代入y2=4x,消去y,整理得:4x2+4(b-1)x+b2=0…(4分)
則x1+x2=-(b-1),x1x2=
b2
4
…(5分)
∴|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
5(1-2b)
…(6分)
又∵|AB|=3
5
,∴1-2b=9,∴b=-4 …(7分)
故直線?的方程為y=2x-4…(8分)
綜上所述:圓錐曲線C的方程為y2=4x,直線?的方程為y=2x-4…(10分)
點評:本題考查拋物線的定義,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查弦長的計算,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點P(x0,y0)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0).
(1)試用x0,y0,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF;
(2)若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
(如圖),求證:xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值;
(3)請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦。已知點是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,是垂直于軸的一條垂軸弦,直線分別交軸于點和點。

(1)試用的代數(shù)式分別表示;

(2)若C的方程為(如圖),求證:是與和點位置無關(guān)的定值;

(3)請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究經(jīng)過某種四則運算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與和點位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分18分)第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分6分,第(3)小題滿分6分。

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦。已知點、是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,是垂直于軸的一條垂軸弦,直線分別交軸于點和點。

(1)試用的代數(shù)式分別表示;

(2)若C的方程為(如圖),求證:是與和點位置無關(guān)的定值;

(3)請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究經(jīng)過某種四則運算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與和點位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明。

(說明:對于第3題,將根據(jù)研究結(jié)論所體現(xiàn)的思維層次,給予兩種不同層次的評分)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省紹興一中高三(下)回頭考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點P(x,y)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0).
(1)試用x,y,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF;
(2)若C的方程為(如圖),求證:xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值;
(3)請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市松江區(qū)、徐匯區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦.若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸,我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦.已知點P(x,y)、M(m,n)是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點,MN是垂直于x軸的一條垂軸弦,直線MP、NP分別交x軸于點E(xE,0)和點F(xF,0).
(1)試用x,y,m,n的代數(shù)式分別表示xE和xF;
(2)若C的方程為(如圖),求證:xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值;
(3)請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C,試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算(加、減、乘、除),其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值,寫出你的研究結(jié)論并證明.

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