Question

已知函數f（x）=e^-x（cosx+sinx），將滿足f'（x）=0的所有正數x從小到大排成數列{x_n}．
（Ⅰ）證明數列{f{x_n}}為等比數列；
（Ⅱ）記S_n是數列{x_nf{x_n}}的前n項和，求．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：f'（x）=-e^-x（cosx+sinx）+e^-x（-sinx+cosx）=-2e^-xsinx．
由f'（x）=0，得-2e^-xsinx=0．
解出x=nπ，n為整數，從而x_n=nπ，n=1，2，3，f（x_n）=（-1）ⁿe^-nπ.．
所以數列{f{x_n}}是公比q=-e^-π的等比數列，且首項f（x₁）=q．
（Ⅱ）解：S_n=x₁f（x₁）+x₂f（x₂）++x_nf（x_n）=πq（1+2q++nq^n-1），
qS_n=πq（q+2q²++nqⁿ），
S_n-qS_n=πq（1+2q²++q^n-1-nqⁿ）
=，
從而
=
=
=．
因為，
所以．
分析：（1）先求導數，解出f'（x）=0的所有正數解x，求得數列{x_n}．從而可證明數列{f{x_n}}為等比數列．
（2）利用錯位相減法求得Sn，從而求得，進而得解．
點評：本小題主要考查．函數求導，等比數列證明，錯位相減的求和方法，及極限的求解等知識．是對知識的綜合性考查，能力要求較高．