Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首項(xiàng)a₁，然后把n換為n+1，利用a_n=5S_n+1表示出a_n+1，兩個(gè)式子相減并利用S_n+1-S_n=a_n化簡后即可得到的值即為公比，得到此數(shù)列為等比數(shù)列，然后根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）由a_n=5S_n+1解出S_n，把第一問求出的{a_n}的通項(xiàng)公式代入即可得到S_n的通項(xiàng)公式，并表示出S_2n，把表示出的式子代入到所證不等式的左邊，討論n為偶數(shù)和奇數(shù)得到比值的最小值為，得證．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5S₁+1，∴a₁=-，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即且a_n≠0，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=-，公比為q=-的等比數(shù)列，
∴a_n=（-）ⁿ；
（2），
∵，∴，∴S_n≠0，
又，
當(dāng)n=2m，m∈N^*（偶數(shù)）時(shí)，比值=，
當(dāng)n=2m-1，m∈N^*（奇數(shù)）時(shí)，比值=，
關(guān)于m為遞增數(shù)列，當(dāng)m=1時(shí)，取到最小值，
綜上所述，對任何正整數(shù)n，不等式恒成立．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡求出，會確定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，是一道綜合題．