某廠生產(chǎn)某種電子元件,如果生產(chǎn)出一件正品,可獲利200元,如果生產(chǎn)出一件次品,則損失100元,已知該廠在制造電子元件過程中,次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是:p=
3x4x+32
(x∈N*)

(1)求該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù);
(2)為獲最大盈利,該廠的日產(chǎn)量應定為多少?
分析:(1)因為該廠的日產(chǎn)量為x,則其次品數(shù)為px=
3x2
4x+32
,正品數(shù)為(1-p)x=
x2+32x
4x+32
,由此能求出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù).
(2)由T=
-25x2+1600x
x+8
,利用導數(shù)知識能求出為獲最大盈利,該廠的日產(chǎn)量.
解答:(本小題滿分13分)
解:(1)因為該廠的日產(chǎn)量為x,
則其次品數(shù)為px=
3x2
4x+32
,正品數(shù)為(1-p)x=
x2+32x
4x+32
,
根據(jù)題意得T=200×
x2+32x
4x+32
-100×
3x2
4x+32

化簡整理得T=
-25x2+1600x
x+8

(2)∵T=
-25x2+1600x
x+8
,
T′=
(-50x+1600)(x+8)-(-25x2+1600x)
(x+8)2
=-25×
x2+16x-64×8
(x+8)2

=-25×
(x+32)(x-16)
(x+8)2
,
當0<x<16時,T'>0;當x>16時,T'<0.
所以x=16時,T有最大值,即Tmax=T(16)=800元.
答:(1)該廠的日盈利額T=
-25x2+1600x
x+8
,x∈N*
(2)為獲最大盈利,該廠的日產(chǎn)量應定為16件.
點評:本題考查導數(shù)知識在生產(chǎn)生活中的實際應用,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習冊系列答案
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