(本小題滿分11分)對于定義域為D的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時滿足:
①在內是單調函數(shù);
②當定義域是時,的值域也是.
則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:是函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知函數(shù)()有“和諧區(qū)間”,當變化時,求出的最大值.
解:(1)區(qū)間是的一個“和諧區(qū)間”.
(2)函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.
(3)當時,取最大值.
【解析】本試題主要是結合了函數(shù)的單調性和函數(shù)的定義域和值域的有關系概念,對于新定義“和諧區(qū)間”的理解和靈活的運用。
(1)在區(qū)間上單調遞增,并且滿足第二點又,,值域為,故得到結論。
(2)假設存在一個區(qū)間滿足題意,利用反比列函數(shù)的性質可知,沒有和諧區(qū)間。
(3)根據(jù)已知條件可知,函數(shù)存在和諧區(qū)間,那么可以設出區(qū)間,再分析函數(shù)的單調性,得到定義域和值域的關系,進而得到結論。
解:(1)在區(qū)間上單調遞增.
又,,值域為,
區(qū)間是的一個“和諧區(qū)間”.…………2分
(2)設是已知函數(shù)定義域的子集.,或,故函數(shù)在上單調遞增.
若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則
故、是方程的同號的相異實數(shù)根.
無實數(shù)根,函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.………………5分
(3)設是已知函數(shù)定義域的子集.,或,故函數(shù)在上單調遞增.
若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則
故、是方程,即的同號的相異實數(shù)根.
,,同號,只須,即或時,已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”,,
當時,取最大值………………11分
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆天津市高一上學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分11分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若,,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆廣東省陸豐市高一第一次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分11分)設全集為,或,.求
(1); (2) ( C);
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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆浙江省高二下學期期中文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分11分) 已知函數(shù),其中.
(1) 當時,求的單調區(qū)間;
(2) 證明:對任意,在區(qū)間內存在零點.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高二上學期期中考試理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分11分)
已知a、b、c為三角形ABC中角A、B、C的對邊,且
,求這個三角形的最大內角.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年陜西省西安市鐵一中高二下學期期中考試數(shù)學(理) 題型:解答題
(本小題滿分11分)已知,
;
(1)試由此歸納出當時相應的不等式;
(2)試用數(shù)學歸納法證明你在第(1)小題得到的不等式.
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