Question

如圖，棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，四邊形AA₁C₁C也為菱形

且∠A₁AC=∠DAB=60^o，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD.（Ⅰ）證明：BD⊥AA₁；

（Ⅱ）證明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；

（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在點(diǎn)P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：連接BD，∵平面ABCD為菱形，

∴BD⊥AC，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

且交線為AC，則BD⊥平面AA₁C₁C，

又A₁A⊂平面AA₁C₁C，

故BD⊥AA₁.   

（Ⅱ）證明：由棱柱的性質(zhì)

 

知四邊形AB₁C₁D為平行四邊形 

 ∴AB₁∥DC₁，∵AB₁在平面DA₁C₁外，DC₁平面DA₁C₁

∴AB₁∥平面DA₁C₁     …

同理B₁C∥平面DA₁C₁…

AB₁∩B₁C＝B₁， ∴平面AB₁C∥平面DA₁C₁.

（Ⅲ）設(shè)AC交BD于O，連接A₁O，   ∵菱形AA₁C₁C且∠A₁AC =60^o，

∴正三角形A₁AC ，且O為AC中點(diǎn)，  ∴A₁O⊥AC 

又平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC

 ∴A₁O⊥平面ABCD，又BD⊥AC，

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OB=1  

則，，

，

，    ，

設(shè)則

設(shè)平面DA₁C₁和平面PDA₁ 的的法向量

分別為

，

取

取  

（舍去）   

當(dāng)P為CC₁的中點(diǎn)時(shí)，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的銳二面角的余弦值為．