Question

關于以下命題：
（1）函數y=log₂（|x|-1）值域是R
（2）等比數列{a_n}的前n項和是S_n（n∈N^*），則S_k，S_2k-S_K，S_3k-S_2K（k∈N^*）是等比數列．
（3）在平面內，到兩個定點的距離之比為定值a（a＞0）的點的軌跡是圓．
（4）函數y=f（a-x）與y=f（x+a）圖象關于直線x=a對稱．
（5）命題“f（x）•g（x）=0的解集是f（x）=0或g（x）=0解集的并集”逆命題是假命題．
其中真命題的序號是：

（1）（5）

．

Answer 1

分析：根據真數的取值范圍，可求出函數y=log₂（|x|-1）值域，從而可判定（1）的真假，
若{a_n}是公比為-1的等比數列時，進行判定（2）的真假，
當a=1時，可判定（3）的真假，
根據函數y=f（a+x）與函數y=f（b-x）的圖象關于直線x=

b-a

2

對稱，可判定（4）的真假；
寫出命題的逆命題，然后判定（5）的真假即可．

解答：解：因為|x|-1能取遍一切正實數，所以函數y=log₂（|x|-1）值域是R，故（1）正確；
若{a_n}是公比為-1的等比數列，當S_k=0時則S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k（k為常數且k∈N）不是等比數列，故（2）錯誤；
設兩定點分別為A（m，n），B（c，d），設所求點為（x，y），由題設條件知：

(x-m)2+(y-n)2

(x-c)2+(y-d)2

=a，
當a=1時，（2c-2m）x+（2d-2n）y+m²+n²-c²-d²=0，此時點的軌跡是直線，故（3）錯誤．
函數y=f（a+x）與函數y=f（b-x）的圖象關于直線x=

b-a

2

對稱，則函數y=f（a-x）與y=f（x+a）圖象關于直線x=0對稱，故（4）錯誤；
命題“f（x）•g（x）=0的解集是f（x）=0或g（x）=0解集的并集”逆命題是“f（x）=0或g（x）=0的解集的并集是f（x）•g（x）=0的解集”，設f（x）=x，g（x）=

x-1

x2

，當f（x）=0，x=0，g（x）=0時，x=1，則f（x）=0或g（x）=0解集的并集為x=0或x=1，而“f（x）•g（x）=0的解集只能為x=1，是假命題，故（5）正確；
故答案為：（1）（5）

點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，以及函數的值域、數列、函數的對稱性等有關知識，是一綜合性題目．