Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x

-x+alnx（a∈R，a≠0）．
（1）若a=

5

2

，求f（x）的極值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+x，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在x=x₁和x=x₂（x₁＜x₂）時(shí)取得極值，且

f(x2)-f(x1)

x2-x1

≤

2e

e2-1

a-2（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證：x₂≥e．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）=

1

x

-x+

5

2

lnx；f′（x）=-

1

x2

-1+

5

2x

=-

(2x-1)(x-2)

2x2

；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）化簡(jiǎn)g（x）=f（x）+x=

1

x

+alnx，求導(dǎo)g′（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

；從而討論a以確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而求單調(diào)區(qū)間；
（3）求導(dǎo)f′（x）=-

1

x2

-1+a

1

x

=-

1+x2-ax

x2

；從而可得x₁+x₂=a，x₁x₂=1；從而化簡(jiǎn)可得lnx₂-

e

e2-1

（x₂-

1

x2

）≤0；令F（x）=lnx-

e

e2-1

（x-

1

x

），求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

5

2

，f（x）=

1

x

-x+

5

2

lnx；
f′（x）=-

1

x2

-1+

5

2x

=-

(2x-1)(x-2)

2x2

；
故當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)

1

2

＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）=

1

x

-x+

5

2

lnx在（0，

1

2

），（2，+∞）上是減函數(shù)，
在（

1

2

，2）上是增函數(shù)；
故f（x）在x=

1

2

處有極小值2-

1

2

-

5

2

ln2=

3

2

-

5

2

ln2；
在x=2處有極大值

1

2

-2+

5

2

ln2=

5

2

ln2-

3

2

；
（2）g（x）=f（x）+x=

1

x

+alnx；
g′（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

；
當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x）＜0；
函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，

1

a

）時(shí)，g′（x）＜0，
x∈（

1

a

，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；
故函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

a

），單調(diào)增區(qū)間為（

1

a

，+∞）；
（3）證明：f′（x）=-

1

x2

-1+a

1

x

=-

1+x2-ax

x2

；
∵函數(shù)f（x）在x=x₁和x=x₂（x₁＜x₂）時(shí)取得極值，
∴x₁，x₂是方程x²-ax+1=0的兩個(gè)根，
故x₁+x₂=a，x₁x₂=1；
則f（x₂）-f（x₁）=

1

x2

-x₂+alnx₂-

1

x1

+x₁-alnx₁
=

1

x2

-

1

x1

+x₁--x₂+a（lnx₂-lnx₁）
=2（x₁-x₂）+2alnx₂；

f(x2)-f(x1)

x2-x1

≤

2e

e2-1

a-2可化為
2（x₁-x₂）+2alnx₂≤（

2e

e2-1

a-2）（x₂-x₁）；
即2alnx₂≤

2e

e2-1

a（x₂-x₁）；
又∵x₁+x₂=a＞0；
故可化為2lnx₂≤

2e

e2-1

（x₂-x₁）；
2lnx₂≤

2e

e2-1

（x₂-

1

x2

）；
即lnx₂≤

e

e2-1

（x₂-

1

x2

）；
即lnx₂-

e

e2-1

（x₂-

1

x2

）≤0；
令F（x）=lnx-

e

e2-1

（x-

1

x

）；
則F′（x）=-

ex2-(e2-1)x+e

(e2-1)x2

；
令G（x）=ex²-（e²-1）x+e；
其對(duì)稱軸為x=

e2-1

2e

＜e；
而G（e）=2e＞0；
故當(dāng)x≥e時(shí)，ex²-（e²-1）x+e＞0，
則F′（x）＜0在[e，+∞）上恒成立；
故F（x）=lnx-

e

e2-1

（x-

1

x

）在[e，+∞）上是減函數(shù)，
且F（e）=1-1=0；
故lnx₂-

e

e2-1

（x₂-

1

x2

）≤0可化為F（x₂）≤F（e）；
故x₂≥e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的單調(diào)性在證明不等式中的應(yīng)用，屬于難題．