Question

等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，S₅=a₅²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

n2+n+1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列性質(zhì)，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出b_n=

25

9

(1+

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，（d＞0）
∵a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
∴（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），
整理，得d²=a₁d，
∵d≠0，∴a₁=d，①
∵S5=a52，∴5a₁+

5×4

2

•d=（a₁+4d）²，②
由①②，得：a1=

3

5

，d=

3

5

，
∴an=

3

5

+(n-1)×

3

5

=

3

5

n．
（Ⅱ）b_n=

n2+n+1

an•an+1

=

n2+n+1

3 5 n• 3 5 (n+1)

=

25

9

•

n2+n+1

n(n+1)

=

25

9

(1+

1

n

-

1

n+1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n
=

25

9

[n+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

25

9

(n+1-

1

n+1

)
=

25

9

•

n2+2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．