Question

如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE=4．如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，設(shè)點F是AB的中點．
（1）求證：DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積．

Answer 1

分析：（1）取AC的中點P，連接DP，證明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明DE⊥平面BCD；
（2）說明G為EC的中點，求出B到DC的距離h，說明到DC的距離h就是三棱錐B-DEG的高．利用S△DEC=

1

3

×S△ABC，
即可求三棱錐B-DEG的體積．

解答：解：（1）取AC的中點P，連接DP，因為在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，
所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=

3

，∠DCP=30°，∠PDC=60°，
又點E在線段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，
∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；
∵將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC
∴DE⊥平面BCD；
（2）若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，G為EC的中點，此時AE=EG=GC=2，
因為在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，
所以BD=

3

，DC=

32+( 3 )2

=2

3

，
所以B到DC的距離h=

BD•BC

DC

=

3 ×3

2 3

=

3

2

，
因為平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，
所以B到DC的距離h就是三棱錐B-DEG的高．
三棱錐B-DEG的體積：V=

1

3

×S△DEG×h=

1

3

×

2

3

×

1

3

×S△ABC×h=

1

3

×

2

3

×

1

3

×

1

2

×3×6×

3

2

×

3

2

=

3

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱錐的體積的求法，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，計算能力．