Question

已知函數(shù)f（x）=

x(x2+3)

3x2+1

，數(shù)列{a_n}滿足對于一切n∈N^*有a_n＞1，且a_n+1=f（a_n）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，bn=

1

loga(ln an-1 an+1 )

（a＞0且a≠1）設(shè)k，l∈N*，bk=

1

1+3l

，bl=

1

1+3k

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{ln

an-1

an+1

}為等比數(shù)列，并指出公比；
（Ⅱ）若k+l=5，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若k+l=M₀（M₀為常數(shù)），求數(shù)列{abn}從第幾項(xiàng)起，后面的項(xiàng)都滿足abn＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證數(shù)列{ln

an-1

an+1

}為等比數(shù)列，只要證明

ln an+1-1 an+1+1

ln an-1 an+1

為常數(shù)即可證，該常數(shù)即為公比
（Ⅱ）由bn=

1

loga(ln an-1 an+1 )

結(jié)合（I）可得

1

bn+1

-

1

bn

=loga(ln

an+1-1

an+1+1

)-loga(ln

an-1

an+1

)=log_a3，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，loga3=

1 b k- 1 b l

k-l

=

1+3l-1-3k

k-l

=-3，從而可求a，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)且有k+l=5
（Ⅲ）由k+l=M₀可求

1

b1

，=3M₀-2，由等差數(shù)列的通項(xiàng)可求b_n，假設(shè)第m項(xiàng)后有足abn＞1．即第m項(xiàng)后b_n＜0，于是原命題等價(jià)于

1 bm ＞0 1 bm+1 ＜0

，代入解不等式可求M

解答：證明：（Ⅰ）∵f（x）=

x(x2+3)

3x2+1

，a_n+1=f（a_n）
∴an+1=

an(an2+3)

3an2+1

∴

an+1-1

an+1+1

=

an(an2+3) 3an2+1 -1

an(an2+3) 3an2+1 +1

=

an3-3an2+3 an+1

an3+3an2+3an+1

=

(an-1)3

(an+1)3

∴ln

an+1-1

an+1+1

=ln

(an-1)3

(an+1)3

=3ln

an-1

an+1

故數(shù)列{ln

an-1

an+1

}為等比數(shù)列，公比為3
解：（Ⅱ）∵bn=

1

loga(ln an-1 an+1 )

∴

1

bn

= loga (ln

an-1

an+1

)

1

bn+1

-

1

bn

=loga(ln

an+1-1

an+1+1

)-loga(ln

an-1

an+1

)=log_a3
所以數(shù)列{

1

bn

}是以

1

b1

為首項(xiàng)，公差為 log_a3的等差數(shù)列．
又loga3=

1 b k- 1 b l

k-l

=

1+3l-1-3k

k-l

=-3
∴a=3-

1

3

=(

1

3

)

1

3

又

1

bk

=

1

b1

+(k-1)(-3)=1+3l，且k+l=5
∴

1

b1

=3(k+l)-2=13
∴

1

bn

=13+(n-1)(-3)=16-3n⇒bn=

1

16-3n

（Ⅲ）∵k+l=M₀⇒

1

b1

=3M0-2
∴

1

bn

=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+1
假設(shè)第m項(xiàng)后滿足abn＞1=a⁰．
∵a=(

1

3

)

1

3

∈(0，1)⇒

1

bn

=logaan＜0
即第m項(xiàng)后

1

bn

＜0，于是原命題等價(jià)于

1 bm ＞0 1 bm+1 ＜0

⇒

3M0-3M+1＞0       3M0-3(M+1)+1＜0

⇒M0-

2

3

＜M＜M0+

1

3

…（15分）
∵M(jìn)∈N^*⇒M=M₀故數(shù)列{a_n}從M₀+1項(xiàng)起滿足abn＞1．．       …（16分）

點(diǎn)評：本題考查了等差和等比數(shù)列的綜合，以及數(shù)列與不等式相結(jié)合等等知識點(diǎn)，屬于難題．解題時(shí)請注意對數(shù)式的處理，和利用數(shù)列綜合解決問題中要求數(shù)列的技巧運(yùn)用．