Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若an=﹣3Sn+4，bn=﹣log2an+1 ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令cn= + ，其中n∈N*，若數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）an=﹣3Sn+4，n≥2時(shí)，an﹣1=﹣3Sn﹣1+4，相減可得：an﹣an﹣1=﹣3an，可得an= ．

n=1時(shí)，a1=﹣3a1+4，解得a1=1．

∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為 ．

∴an= ．

bn=﹣log2an+1=﹣ =2n．

（Ⅱ）cn= + = + = + ，其中n∈N*，

設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為An= +…+ ，

∴ = +…+ + ，

∴ = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴An=2﹣ ．

設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Bn．

則Bn= + +…+ =1﹣ = ．

∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=2﹣ + ．

【解析】（1）an=﹣3Sn+4，n≥2時(shí)，an﹣1=﹣3Sn﹣1+4，相減可得：an﹣an﹣1=﹣3an，可得an= a n 1，不難得出此為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公比q為，再將an的通項(xiàng)公式代入bn=﹣log2an+1，可得bn的通項(xiàng)公式，（2）由（1）中的bn，表示出Cn，利用分組求和，錯(cuò)位相減求得+ + +…+ ,使用裂項(xiàng)相消求得+++···+,最終相加可得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.