Question

已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面邊長為8，對角線B₁C＝10，D為AC的中點．

(1)求證AB₁∥平面C₁BD；

(2)求直線AB₁到平面C₁BD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)設(shè)B1C∩BC1＝O． 　　連DO，則O是B1C的中點． 　　在△ACB1中，D是AC中點，O是B1C中點． 　　∴DO∥AB1， 　　又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， 　　∴AB1∥平面C1BD． 　　解：(2)由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中點， 　　∴BD⊥AC，且BD⊥CC1， 　　∴BD⊥平面AC1， 　　平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交線． 　　在平面AC1內(nèi)作AH⊥C1D，垂足是H， 　　∴AH⊥平面C1BD， 　　又AB1∥平面C1BD，故AH的長是直線AB1到平面C1BD的距離． 　　由BC＝8，B1C＝10，得CC1＝6， 　　在Rt△C1DC中，DC＝4，CC1＝6， 　　 　　在Rt△DAH中，∠ADH＝∠C1DC 　　∴． 　　即AB1到平面C1BD的距離是． 　　評述：證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出與已知直線平行的直線，如本題的DO．本題的第(2)問，實質(zhì)上進行了“平移變換”，利用AB1∥平面C1BD，把求直線到平面的距離變換為求點A到平面的距離．